LQR控制器——数学推导

AI summary

LQR控制器通过选择反馈增益k来优化可镇定线性系统的表现，利用cost function最小化状态和输入的惩罚。通过选择参数矩阵Q和R，求解Riccati方程得到矩阵P，从而计算控制量u以实现不同的系统表现。

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Sep 16, 2024 11:00 AM

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LQR Controller

Control Theory

Feedback Control

Optimization Techniques

内容简述：

对于可镇定的线性系统：

写成闭环形式，也就是

我们的做法是通过选择反馈增益k来改变闭环矩阵的特征值，从而控制系统的表现。

那么，什么样的反馈增益k才是最好的呢？

在优化理论中，引入cost function的概念，来帮助选择反馈增益k。

找到一个k，使得在满足镇定系统的同时，最小化cost function。

这里，矩阵Q和R都是对角正定矩阵，他们的每一个对角元素的值都代表着对每一个对应的状态和输入的惩罚。

矩阵对角元素的值越大，表示对该状态或输入的惩罚越厉害。那么体现在最终系统的表现上就是，该状态或输入的值越小。

第一次选择Q=[100 0; 0 1]; R=.01，在MATLAB中用

k=lqr(A,B,Q,R)

命令得到该cost function下的最有反馈增益k。其内部主要是通过求解Riccati方程得到k。

LQR的思路：

选择参数矩阵Q, R

求解Riccati方程得到矩阵P（这里矩阵P是假设的）

根据P计算

计算控制量

LQR目的：

通过选择不同的Q和R得到不同的系统表现。

参考如下链接：

LQR控制器简单实现与仿真

LQR控制器--简单实现与仿真_Andrew的博客-CSDN博客_lqr控制器

对B站一位良心up主的视频学习总结安利：https://www.bilibili.com/video/BV1RW411q7FD/?spm_id_from=trigger_reload 对于可镇定的线性系统：，写成闭环形式，也就是我们的做法是通过选择反馈增益k来改变闭环矩阵的特征值，从而控制系统的表现。那么在优化理论中，引入cost function的概念，来帮助选择反馈增益k。 ...

https://blog.csdn.net/m0_37655357/article/details/105488603

LQR控制器详解和推导过程

LQR控制算法推导以及简单分析_碎步の流年的博客-CSDN博客_lqr控制

首先，这篇文章是看了几个大神的博客后，自己抄录以及整理的内容，其中有些自己的想法，但是原理部分基本都是学习大神们的，在此先说明一下。在介绍LQR之前，首先，先回顾一下现在控制理论中的基本的控制器 ------ 全状态反馈控制，上图假设有一个线性系统用状态向量表示：其中，，，初始条件是。在此，我们需要设计一个状态反馈控制器 ...

https://blog.csdn.net/qq_24649627/article/details/104690279

LQR控制器详解

20. LQR控制器- 线性二次型调节器 Linear Quadratic Regulator

(今天朋友回UCSD了，亲自拍了张照片做封面)。控制界就喜欢搞三字名词，以至于连不学控制的人都略有耳闻：PID, LQR, MPC, IMC, LMI等等。要说排名前二的，PID绝对是第一，LQR应该能排到第二。今天这篇文章来简要谈谈LQR与其特点。详细的最优控制推导不是我首要想做的事，指明一个思路以及对优缺点的思考才是。未来如果还有时间写最优控制，会再多写几步推导。现在的工具那么多，我们第一要见多识广，第二要知其长短。如今研究者众多，书上的东西都是比较基础的，之后更多的变化就等日后实践与阅读paper来了解了。其实我开始的时候是把标题取成"LQR-线性二次型调节器"的，不过估计多数人会在后面加个"控制"，所以写成"LQR控制器"让大家都能搜索到吧。知乎中类似的文章有很多，然而真正写的好的文章却寥寥无几，还有很多类似"抛开公式理解xxxx"的科普文章。没有公式，还想从本质上理解，大概是在骗自己--公式已经是最简洁的记录了。掌握了一种控制设计方法之后，有两种我觉得可以检验优劣的途径：一种是去实践，另一种是看别人的paper如何实践。最好自己有机会去动手实践。看别人的实践也不失为一种好的学习途径，要尤其注意有些作者为了发paper而故意绕开的问题。所以后一种方法也是考验你能不能挑出错误。善于发现问题，不是要你挑人家语法错误，而要重点分析它们解决问题的逻辑是否正确，结果是否与事实符合。本篇目录：线性二次型最优控制 LQ Optimal Control 无限时域LQR Infinite Horizon LQR LQR稳定裕度 LQR stability margin LQR极限行为 Limitations of behaviourism 输出调节器与输出跟踪 Output LQR and Output Tracking 我们不必现在深度研究最优控制的求极值技巧(极大值原理，古典变分法与动态规划)。除去求最优控制的技巧，优化控制技术的逻辑很简单：给一个系统，给一个性能函数(performance index, 也叫cost function)，求出一个控制序列，使得系统稳定并且性能函数取到极值。至于是取极小值还是极大值，这个取决于求解的问题和性能函数的定义。所以我们来聊聊这个常见的LQR是怎么回事。 Linear Quadratic Regulator, a.k.a, LQR, 是线性二次型调节器的缩写。要说这个LQR，就先得从LQ Optimal Control开始说起。我们研究一个线性时变系统：定义一个时域连续性能泛函: 是控制起始与终止时间，求一个最优控制时序使得(1)稳定且(2)取极值，这个问题就是一个LQ Optimal Control Problem.

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