MPC模型预测控制器——数学推导

本文探讨了模型预测控制（MPC）的数学推导，重点介绍了最优控制的基本概念、代价函数的定义及其在单输入单输出和多输入多输出系统中的应用。MPC通过在线求解有限时间的优化问题来实现控制，包含状态估计、基于控制序列的优化和滚动优化控制三个步骤。文中还详细推导了代价函数的形式及其在不同控制系统中的应用。

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模型控制基本内容最优化控制和基本概念最优化数学建模推导

模型控制基本内容

模型预测控制（MPC）简介_Virgo的博客-CSDN博客_模型预测控制
在当今过程控制中，PID当然是用的最多的控制方法，但MPC也超过了10%的占有率。MPC是一个总称，有着各种各样的算法。其动态矩阵控制（DMC）是代表作。DMC采用的是系统的阶跃响应曲线，其突出的特点是解决了约束控制问题。那么是DMC是怎么解决约束的呢？在这里只给出宏观的解释，而不做详细的说明。DMC把线性规划和控制问题结合起来，用线性规划解决输出约束的问题，同时解决了静态最优的问题，一石二...
模型预测控制（MPC）简介_Virgo的博客-CSDN博客_模型预测控制
https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/82657583
模型预测控制（MPC）简介_Virgo的博客-CSDN博客_模型预测控制
MPC模型预测控制_tingfenghanlei的博客-CSDN博客_mpc模型预测控制
这篇主要讲一下模型预测控制，如果对PID控制了解的同学，那效果更好。如果不了解PID控制，还是熟悉下比较好。 模型预测控制，顾名思义，基于模型，预测未来，进行控制。这个控制是基于模型的，也就是model-based。 有人会问，我这个系统的模型怎么来呢？我想到两点解决方法： 1. 文献上去找别人已经建好的，公认的模型； 2. 首先进行系统辨识，再进行建模。（难度太大，不建议） ...
MPC模型预测控制_tingfenghanlei的博客-CSDN博客_mpc模型预测控制
https://blog.csdn.net/tingfenghanlei/article/details/85046120
MPC模型预测控制_tingfenghanlei的博客-CSDN博客_mpc模型预测控制

最优化控制和基本概念

参考链接：
MPC_1_最优化控制和基本概念_知识搬运工阿杰的博客-CSDN博客_mpc优化控制
优化" 的解释如下：1、可见预测控制的优化不是一次离线进行而是随着采样时刻的前进反复地在线进行故称为滚动优化.这种滚动优化虽然得不到理想的全局最优解但是反复对每一采样时刻的偏差进行优化计算将可及时地校正控制过程中出现的各种复杂情况。 2、优化是一步一步地滚动进行的,称为滚动优化.因此,预测控制不是用一个对全局相同的优化性
MPC_1_最优化控制和基本概念_知识搬运工阿杰的博客-CSDN博客_mpc优化控制
https://blog.csdn.net/qq_49973861/article/details/121047887
MPC_1_最优化控制和基本概念_知识搬运工阿杰的博客-CSDN博客_mpc优化控制
最优控制的研究动机：在约束条件下达到最优的系统表现
Get the best performance within certain limitation
注：
所谓“最优”就是设计“惩罚函数”，把“惩罚函数”映射到“解空间”
最优不是唯一解
误差
举例：
下图是一个典型的单输入单输出系统(SISO)：
notion image
假设该系统是一个轨迹跟踪控制系统，其中e为轨迹跟踪误差，u为控制输入，则
  • 越小，说明轨迹追踪效果越好
  • 越小，就表明该控制器的输入越小，能量消耗就越低
基于此，定义一个 Cost Function（目标/代价函数）：
，控制器看重误差
，控制器看重输入
根据现实中不同的控制系统要求调节。而最优控制的目标就是使得代价函数J最小。
拓展到MIMO（多输入多输出）系统中：
其代价函数就可以写为：
其中Q、R分别为调节矩阵。
例如：
其中为权重系数。
关注哪个变量就把哪个变量对应的权重参数调大，另一个权重参数调小
MPC：模型预测
MPC作用机理描述为：在每一个采用时刻，根据获得的当前测量信息，在线求解一个有限时间开环优化问题，并将得到的控制序列的第一个元素作用于被控对象。在下一个采样时刻，重复上述过程：用新的测量值作为此时预测系统未来动态的初始条件，刷新优化问题并重新求解 。
notion image
即MPC算法包括三个步骤：
  1. 在k时刻估计/测量当前系统状态
  1. 基于来进行最优化
      2. 先找到曲线对应的控制区间和预测区间
      上式中第三项为最终代价
      对代价函数进行最优化，找到在预测区间内代价函数的最小值
  1. 只施加的控制量
      2. 该步骤被称为滚动优化控制（Receding Horizon Control）：
      预测的模型很难完美描述现实的系统，现实的系统可能会有扰动
      当时间从k到k+1时，对应的控制区间和预测区间也向右移动一个时刻，然后重复进行第二步

最优化数学建模推导

参考链接
MPC_2_最优化数学建模推导_知识搬运工阿杰的博客-CSDN博客
MPC 系列的第二部分。 对于处理多变量，状态空间模型是最方便的。 在这部分中，提供了一种用于设置基于状态空间模型的预测控制器的工具。 安装程序返回在线 MPC 控制器的函数句柄。 在线控制器作为嵌套函数实现，因此内部模型、内部状态、控制参数都存储在设置程序的工作区中，从而显着简化了在线控制器的界面。 包含一个2-CSTR 示例来演示此工具的用法。 该工具还为初学者提供了一个示例，以学习如何使用嵌套函数替换持久变量。
MPC_2_最优化数学建模推导_知识搬运工阿杰的博客-CSDN博客
https://blog.csdn.net/qq_49973861/article/details/121051866
MPC_2_最优化数学建模推导_知识搬运工阿杰的博客-CSDN博客
介绍最常用的一种最优化方法——二次规划
一般形式：
前面的部分是线性规划——最小二乘法：
Q是对角矩阵
举例
x为状态向量，u为输入向量
在k时刻
N称为预测空间（Predictive Horizon）
假设系统输出
参考值
误差
代价函数
上式可以理解为：
J=误差加权和+输入加权和+终端误差
系统的初始条件：
上述矩阵化为：
将代价函数展开
设
将上式展开之后合并可得
上式为新的代价函数
 
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