非线性控制理论

本文讨论了非线性控制理论，包括系统的渐进稳定性、非线性反步控制设计、非线性自适应控制器和鲁棒控制。重点介绍了滑模控制、高增益控制和高频控制的原理与稳定性分析，强调了如何通过设计控制器使得系统状态趋向期望值，并比较了不同控制策略的特性与应用。

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基础部分

定义：

PD 正定： 除了原点为零点其他都大于零
PSD 半正定： 除了原点为零点以外还有其他零点
ND 负定： 除了原点为零点其他都小于零
NSD 半负定： 除了原点为零点以外还有其他零点

李雅普诺夫稳定性内容：

x 是平衡点
平衡点概念：在初始状态 x=0 状态的变化率为0，该点为稳定点
设V
⇒ x=0 是一个稳定点
⇒ x=0 是一个渐进稳定点
总结：
如果平衡状态受到扰动后，仍然停留在附近，我们就称在李雅普诺夫意义下是稳定的（Lyapunov stable）。
如果平衡状态受到扰动后，最终都会收敛到，我们就称在李雅普诺夫意义下是渐进稳定的（Asymptotically stable）。
如果平衡状态受到某种扰动后，状态开始偏离，我们就称在李雅普诺夫意义下是不稳定的（Unstable）。
根据李雅普诺夫第一法（间接法），矩阵的特征值决定了系统的稳定性：
系数矩阵与系统稳定性的关系_Amanda1m的博客-CSDN博客_矩阵判断系统稳定性
对 连续时间 线性定常控制系统而言，系统 内部渐近稳定的充分必要条件是 其系数矩阵A的特征值都在复平面的左半开平面 内。 对 连续时间 线性定常控制系统而言，系统 输入-输出稳定的充分必要条件是 其特征方程的根（传递函数的极点）全都在复平面的左半平面内 。 离散时间 线性定常系统 内部渐进稳定的充分必要条件是：系统的 系数矩阵G的特征值全都在z平面以原点为中心的单位圆 内。 离散时间 线性定常系统 输入-输出稳定的充分必要条件是：系统的 脉冲传递函数的特征值（脉冲传递函数的极点）全都在z平面以原点为中心的单位圆 内。
系数矩阵与系统稳定性的关系_Amanda1m的博客-CSDN博客_矩阵判断系统稳定性
https://blog.csdn.net/m0_37764065/article/details/109471238
系数矩阵与系统稳定性的关系_Amanda1m的博客-CSDN博客_矩阵判断系统稳定性
如何理解李雅普诺夫稳定性分析：
如何理解李雅普诺夫稳定性分析
一、什么是平衡点 二、什么是李雅普诺夫稳定 三、李雅普诺夫第一法 四、李雅普诺夫第二法 五、MATLAB代码 ...
如何理解李雅普诺夫稳定性分析
https://zhuanlan.zhihu.com/p/58738073
如何理解李雅普诺夫稳定性分析
例：
设
最后一步的是求函数的李雅普诺夫导数（Lie Derivate），简称李导数。
若求解后的说明为半负定NSD，系统稳定，说明有界，不代表 → 0。

不变性原理

引入新的理论扩大李雅普诺夫稳定性的判定。
notion image
例：
因此系统渐进稳定
  • 注：(0, 0)点为系统的平衡点，该点处一阶导数为0 因此当时，

非线性系统稳定性设计

基础反馈系统的稳定性
对于一个系统
假设 u 是 x 的函数：state feedback
例1：
平衡点在原点
若希望“0”是渐进稳定平衡点
令，u消除了非线性项且提供了稳定性
则上式变为
反馈线性化（Feedback Linearization）：非线性系统通过输入线性化。
例2：
用反馈线性化的方法
代替方法：李雅普诺夫 直接方法（也叫李雅普诺夫第二法）

李雅普诺夫第二法的基本思想

  • 求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数）——标量函数。
  • 能量衰减特性用表示。
  • 依据系统的运动方程（状态方程）考察能量函数在运动过程中的变化规律。
  • 利用和的符号特性，判断平衡状态稳定性。
令
问：V为什么这样设定？
需要让x=0是渐进平衡点，则需满足如下条件：
V的函数是由以上几种条件的约束下试出来的
根据的函数图像知道不是负定的，是负定的，因此令u包含以消去
令
或者
注：在控制器设计的时候，尽量避免引入x的高次项，这样会在输出引入一个非常大的项，增大反馈对应的输入。

反馈线性化控制

弹簧滑块拉力构成的动态方程：
目标：改变F使得滑块按指定轨迹移动
令：
输入
位移
速度
让
为规定轨迹
通过改变输入u来控制，这种系统称之为Chain of Integrator
引入误差e：
目标：让
误差随时间的变化：
找到Lyapunov函数：
设
希望为ND，令
此时为负定（ND）函数
新目标：（目的是使误差项最小化）
注：代入法的思路
消去中间误差以及新引入的量，只保留状态X，以及给定的轨迹，以及最后一个误差
目标：使
问：为什么要重新找V函数
因为上式中无法保证为ND，需要重新设定V函数
设定的方法类似于上步中的方法，利用导数与原变量的关系凑方程式
令
因为，都是PD，所以也是PD
前面的为ND，当然也希望后面的为ND，令
这是最终的表达式
稳定性验证：
代入可得
代入表达式可得
将和对应表达式写成矩阵形式
该系统为线性反馈系统（前面假设的时候k大于0）
问：系统渐进稳定的条件是什么？
矩阵特征值均具有负实部（小于0），系统渐进稳定
平衡点为(0, 0)
渐进稳定

15.5非线性反步控制设计

设计控制器，这种系统称之为Chain of Integrator
step1:
设计（中间输入量），使得，
引入误差，
找到一个Lyapunov函数
：PD
：希望是ND
则有
设，则是ND，
注：
这里因为满足，因此，此处用表示
step2:
设计，使得
引入新的误差，
找到一个Lyapunov函数
注：需要设计一个什么样的函数
该函数需要包含原变量以及新变量
：PD
：希望是ND
则有
其中
问：上式中为什么不用代换？
因为此处需要参与计算，如果代入，则默认，但此处，两者不相等
前项为ND，当，后项也为ND
注：ND负定满足的条件
除了原点为零点其他都小于零
总结：
控制使得追寻分为两部分
  • 通过控制来控制 ()
  • 通过控制来控制 ()
设计控制器的时候要反向来做，因此叫back-stepping

非线性自适应控制器

假设参数a为常数
估计：
给i及参数：
Define Lyapunov function:
is PD.
其中令，
令
因此为NSD
notion image
notion image

非线性鲁棒控制 (Robust Control)

滑模控制

上一讲，参数未知，只知道它有界
一般形式
目标：
令
为符号函数(sgn(e))：
证明上面的误差项导数公式，需要从Lyapunov方程的角度去考虑
解上述微分方程不等式，引入松弛变量
微分方程
一阶线性微分方程通解
注：不要与误差项e弄混
右项大于0
因此是指数渐进稳定exponentially Stable
的相平面：
上式中后两项是控制项，当系统偏离时，控制器会想办法滑到线上，这样一个过程称之为滑模控制。(Sliding Mode)
notion image
u为控制器

High Gain高增益 and High Frequency Controller高频

一般形式
目标：
为不确定值且有界，
误差动态响应：
令
回顾：三种类型的鲁棒控制
  1. Sliding Model
      2. 滑模控制其实是在两个不同的模式不停的切换
      符号函数不是+1就是-1，对于执行器带来了很大的挑战，比如自动驾驶，方向盘突然转向。
      特性：
  1. High Gain
      2. High Gain：用足够大的输入去抵消不确定性
      特性：
  1. High Frequency
      2. High Frequency：
      特性：
对比：High Frequency控制相对于滑模控制来说，两个不同的模式之间的切换更平滑
稳定性证明

证明High Gain系统的稳定性

令
case 1:
case 2:
求解微分方程不等式，引入
一阶常系数非齐次线性微分方程通解
注：这里使用的函数求解法
牛顿-莱布尼茨公式：（将变量x换成其他函数不改变积分上下限）
换元法：
当
Globally Uniformly Ultimately Bounded (GUUB)，该结果为始终有界的结果
很小的时候，稳态误差很小，但是输入很大
因此需要自己权衡误差。

证明High Frequency系统的稳定性

令
和相同，当

三种鲁棒控制器的比较

详见上章内容——回顾：三种类型的鲁棒控制
目标：
为系统的不确定扰动量
总结：几种控制器的比较
notion image
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